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Ortsraum und Frequenzraum
In der digitalen Bildbearbeitung werden Bilder als zweidimensionale Matrizen behandelt, d.h. ein Bild ist aus einzelnen Bildpunkten (picture element, kurz: pixel) zusammengesetzt. Somit ist jedes Bild eine Linearkombination von Bildern, die nur einen einzigen Bildpunkt an der betrachteten Stelle haben. Die Bilder, die linearkombiniert werden, nennt man Basisbilder. Ihre Matrixdarstellung besteht aus lauter Nullen und nur an einer einzigen Stelle steht eine Eins. Durch Multiplikation eines Basisbildes mit einer Zahl zwischen 0 und 255 kann der betrachtete Bildpunkt einen jeden der 256 verschiedenen Grauwerte annehmen. Multipliziert man nun jedes Basisbild mit einem Koeffizienten und addiert anschließend alle erhaltenen Bilder, so lässt sich jedes Bild aus Grautönen darstellen.
Um eine Überführung in eine andere Bilddarstellung (eine Transformation) besser zu verstehen, kann man sich ein aus M x N Bildpunkten bestehendes Bild als einen Punkt in einem M x N Vektorraum vorstellen. Hat ein Bild eine Breite von N Bildpunkten und eine Höhe von M Bildpunkten, so bilden die zugehörigen Basisbilder einen M x N Vektorraum über dem Raum der reellen Zahlen R. Bei Änderung des Koordinatensystems werden nur die Koordinaten verändert, das Bild an sich jedoch nicht. Man sieht also dieselbe Information nur aus einem anderen Blickwickel. Analog zum vorher besprochenen Ortsraum wird im Frequenzraum eine Funktion mit Hilfe von Basisfunktionen dargestellt. Speziell bei der diskreten Kosinus Transformation (DCT) werden natürlich Kosinusfunktionen benutzt, welche an acht Stellen abgetastet werden - daher diskrete Kosinus Transformation. Die Anzahl der acht Abtaststellen ergibt sich aus dem JPEG Standard, da im eindimensionalen Fall der DCT Bilder in 1 x 8 Matrizen zerlegt werden. Da das Ziel im eindimensionalen Fall der DCT die Transformation von acht Bildpunkten bzw. deren Grauwerten ist, sind also acht Basisfunktionen vorhanden. Die erste Basisfunktion eine einfache Konstante. Die zweite Basisfunktion ist eine halbe Kosinusschwingung. Die Basisfunktionen alternieren stärker, je größer die Frequenzen werden. Diese Funktionen spannen einen Vektorraum der Dimension acht über R auf.